Среднее кубическое

Среднее кубическое (также средняя кубическая) — число x {displaystyle x} , равное кубическому корню из среднего арифметического кубов данных чисел a 1 , a 2 , . . . , a n {displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}} :

x = a 1 3 + a 2 3 + … + a n 3 n 3 {displaystyle x={sqrt[{3}]{frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+ldots +a_{n}^{3}}{n}}}}

Свойства

Среднее кубическое — частный случай среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних. В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического:

a 1 + a 2 + … + a n n ⩽ a 1 3 + a 2 3 + … + a n 3 n 3 {displaystyle {frac {a_{1}+a_{2}+ldots +a_{n}}{n}}leqslant {sqrt[{3}]{frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+ldots +a_{n}^{3}}{n}}}}

Применение

Среднее кубическое является характеристикой объёмных признаков. Может использоваться, например, для расчёта среднего объёма предметов по их диаметрам. Так, если известны диаметры яиц, то их средний объём может быть рассчитан с помощью среднего кубического. Среднее кубическое находит применение в статистике.

Среднее кубическое для функции

Среднее кубическое можно также определить для непрерывной функции f ( t ) {displaystyle f(t)} , заданной на отрезке [ T 1 , T 2 ] {displaystyle [T_{1},,T_{2}]} , по формуле

x = 1 T 2 − T 1 ∫ T 1 T 2 f 3 ( t ) d t , 3 {displaystyle x={sqrt[{3}]{{dfrac {1}{T_{2}-T_{1}}}int limits _{T_{1}}^{T_{2}}f^{3}(t),dt,}}}

а также для непрерывной функции f ( t ) {displaystyle f(t)} , определённой на положительной полуоси:

x = lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T f 3 ( t ) d t . 3 {displaystyle x=lim _{T ightarrow infty }{sqrt[{3}]{{dfrac {1}{T}}int limits _{0}^{T}f^{3}(t),dt.}}}

Среднее кубическое для периодической функции по положительной полуоси равно среднему кубическому по периоду функции.

Пример вычисления

Рассмотрим функцию синуса

x ( t ) = A sin ⁡ ( ω t ) , {displaystyle x(t)=Asin(omega t),}

где t {displaystyle t} — время, A {displaystyle A} — амплитуда, а ω {displaystyle omega } — частота в радианах на единицу времени. Тогда

ω = 2 π T {displaystyle omega ={dfrac {2pi }{T}}}

и среднее кубическое вычисляется как

x = 1 T ∫ 0 T A 3 sin 3 ⁡ ( 2 π T t ) d t 3 = A 2 π 3 ∫ 0 2 π sin 3 ⁡ ( t ) d t . 3 {displaystyle x={sqrt[{3}]{{dfrac {1}{T}}int limits _{0}^{T}A^{3}sin ^{3}left({dfrac {2pi }{T}}t ight),dt}}={dfrac {A}{sqrt[{3}]{2pi }}}{sqrt[{3}]{int limits _{0}^{2pi }sin ^{3}(t),dt.}}}