Главная
Статьи





29.06.2022


29.06.2022


29.06.2022


29.06.2022


29.06.2022






L-функция Артина

23.01.2022

L-функция Артина — это вид ряда Дирихле, связанный с представлением ρ {displaystyle ho } группы Галуа G {displaystyle G} расширения числового поля. Эти функции были введены в 1923 Эмилем Артином, в связи с его работой в теории полей классов. Фундаментальные свойства этих функций, в частности гипотеза Артина, описанная ниже, оказались устойчивыми к легким доказательствам. Одной из целей предлагаемой неабелевой теории полей классов является включение комплексно-аналитических L-функций Артина в более широкую теорию, которая будет вытекать из автоморфных форм и программы Ленглендса. До сих пор лишь небольшая часть такой теории была построена на прочной основе.

Определение

Пусть ρ : G → G L ( V ) {displaystyle ho :G o mathrm {GL} (V)} — представление группы G {displaystyle G} в конечномерном комплексном векторном пространстве V {displaystyle V} , где G {displaystyle G} - группа Галуа конечного расширения L / K {displaystyle L/K} числового поля. L-функция Артина L ( ρ , s ) {displaystyle L( ho ,s)} тогда равна бесконечному произведению эйлеровых множителей по всем простым идеалам P {displaystyle P} . Для каждого простого идеала P {displaystyle P} из кольца целых O K {displaystyle {mathcal {O}}_{K}} поля K {displaystyle K} , эйлеровский множитель легко определяется в случае, если P {displaystyle P} является неразветвлённым в L {displaystyle L} (что верно для почти всех P {displaystyle P} ). В этом случае, элемент Фробениуса F r o b P {displaystyle mathrm {Frob} _{P}} определяется как класс сопряженности в G {displaystyle G} . Следовательно, характеристический многочлен матрицы ρ ( F r o b P ) {displaystyle ho (mathrm {Frob} _{P})} вполне определён. Эйлеровский множитель P {displaystyle P} представляет собой небольшую модификацию характеристического многочлена, так же чётко определенного:

charpoly ⁡ ( ρ ( F r o b P ) ) − 1 = det ⁡ [ E − t ρ ( F r o b P ) ] − 1 , {displaystyle operatorname {charpoly} ( ho (mathrm {Frob} _{P}))^{-1}=operatorname {det} [E-t ho (mathrm {Frob} _{P})]^{-1},}

как рациональная функция от t {displaystyle t} , взятого в точке t = N ( P ) − s {displaystyle t=N(P)^{-s}} , где s {displaystyle s} - комплексная переменная, как в обычной дзета-функции Римана. (Здесь N {displaystyle N} - норма идеала).

Если P {displaystyle P} разветвлено, а I {displaystyle I} — группа инерции, которая является подгруппой G {displaystyle G} , используется сходная конструкция, но подпространство V {displaystyle V} поточечно инвариантно при действии I {displaystyle I} .

Как показывает закон взаимности Артина, когда G {displaystyle G} — абелева группа, L-функции Артина являются L-функциями Дирихле при K = Q {displaystyle K=mathbb {Q} } , а в общем случае являются L-функциями Гекке. Нетривиальные отличия появляются при неабелевой группе G {displaystyle G} и её представлении.

Пример применения — разложить на множители дзета-функции Дедекинда в случае числового поля, которое является расширением Галуа над рациональными числами. Так как регулярное представление разлагается в неприводимые представления, то и дзета-функция Дедекинда представляется в виде произведения L-функций Артина, при любом неприводимом представлении G {displaystyle G} .

Более точно, если L / K {displaystyle L/K} — расширение Галуа степени n {displaystyle n} , ρ {displaystyle ho } — неприводимое представление Gal ⁡ ( L / K ) {displaystyle operatorname {Gal} (L/K)} , то разложение ζ L ( s ) = L ( ρ regular , s ) = ∏ ρ L ( ρ , s ) deg ⁡ ( ρ ) {displaystyle zeta _{L}(s)=L( ho _{ ext{regular}},s)=prod limits _{ ho }L( ho ,s)^{deg( ho )}} следует из

L ( ρ , s ) = ∏ P ∈ K 1 det [ E − N ( P ) − s ρ ( F r o b P ) | V P , ρ ] , {displaystyle L( ho ,s)=prod limits _{Pin K}{frac {1}{det[E-N(P)^{-s} ho (mathrm {Frob} _{P}){scriptstyle |V_{P, ho }}]}},} − ln ⁡ det [ E − N ( P ) − s ρ ( F r o b P ) ] = ∑ m = 1 ∞ tr ⁡ ( ρ ( F r o b P ) m ) m N ( P ) − s m {displaystyle -ln det[E-N(P)^{-s} ho (mathrm {Frob} _{P})]=sum limits _{m=1}^{infty }{frac {operatorname {tr} ( ho (mathrm {Frob} _{P})^{m})}{m}}N(P)^{-sm}} ∑ ρ  неприводимо deg ⁡ ( ρ ) tr ⁡ ( ρ ( σ ) ) = { n  при  σ = 1 0  иначе  , {displaystyle sum limits _{ ho { ext{ неприводимо}}}deg( ho )operatorname {tr} ( ho (sigma ))={egin{cases}n{ ext{ при }}sigma =1{ ext{ иначе }},end{cases}}} − ∑ ρ  неприводимо deg ⁡ ( ρ ) ln ⁡ det [ E − N ( P − s ) ρ ( F r o b P ) ] = n ∑ m = 1 ∞ N ( P ) − s f m f m = − ln ⁡ [ ( 1 − N ( P ) − s f ) n / f ] {displaystyle -sum _{ ho { ext{ неприводимо}}}deg( ho )ln det[E-N(P^{-s}) ho (mathrm {Frob} _{P})]=nsum _{m=1}^{infty }{frac {N(P)^{-sfm}}{fm}}=-ln[(1-N(P)^{-sf})^{n/f}]}

где deg ⁡ ( ρ ) {displaystyle deg( ho )} — степень неприводимого представления в регулярном представлении, f {displaystyle f} — это порядок F r o b P {displaystyle mathrm {Frob} _{P}} и n {displaystyle n} заменено на n / e {displaystyle n/e} для ветвящихся простых.

Поскольку характеры образуют ортонормированный базис, после доказательства некоторых аналитических свойств L ( ρ , s ) {displaystyle L( ho ,s)} мы получаем теорему плотности Чеботарёва как обобщение теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

Функциональное уравнение

L-функции Артина удовлетворяют функциональному уравнению. Функция L ( ρ , s ) {displaystyle L( ho ,s)} связана с L ( ρ ∗ , 1 − s ) {displaystyle L( ho ^{*},1-s)} , где ρ ∗ {displaystyle ho ^{*}} обозначает комплексно-сопряженное представление. Более точно, L {displaystyle L} заменяется на Λ ( ρ , s ) {displaystyle Lambda ( ho ,s)} , в котором L {displaystyle L} умножена на некоторые гамма-множители, и тогда выполняется соотношение между мероморфными функциями

Λ ( ρ , s ) = W ( ρ ) Λ ( ρ ∗ , 1 − s ) {displaystyle Lambda ( ho ,s)=W( ho )Lambda ( ho ^{*},1-s)}

где W ( ρ ) {displaystyle W( ho )} — некоторое комплексное число с модулем 1, называемое корневое число Артина. Оно глубоко изучено в отношении двух типов его свойств. Во-первых, Ленглендс и Делинь разложили его в произведение локальных констант Ленглендса-Делиня; Это важно в связи с гипотетическими связями с автоморфными представлениями. Во-вторых, случай когда ρ {displaystyle ho } и ρ ∗ {displaystyle ho ^{*}} являются эквивалентными представлениями точно соответствует случаю, когда в функциональном уравнении с обеих сторон стоят одинаковые L-функции. Это, говоря алгебраическим языком, случай, когда ρ {displaystyle ho } - это действительное представление или кватернионное представление. Корневое число Артина в этом случае равно ± 1 {displaystyle pm 1} . Вопрос о том, какой именно знак имеет место, связан с теорией модуля Галуа (Perlis 2001).

Гипотеза Артина

Гипотеза Артина утверждает, что если ρ {displaystyle ho } — нетривиальное неприводимое представление, то L-функция Артина L ( ρ , s ) {displaystyle L( ho ,s)} является аналитичной на всей комплексной плоскости.

Известно, что для одномерных представлений L-функция Артина будет связана с характером Гекке - и в частности с L-функцией Дирихле. Артин доказал более общее утверждение, что гипотеза Артина верна для любых представлений, индуцированных одномерными представлениями. Если группа Галуа является сверхразрешимой или, более общо, мономиальной, то все их представления таковы, что гипотеза Артина выполняется.

Андре Вейль доказал гипотезу Артина в случае полей функций.

Двумерные представления классифицируются по образам своих подгрупп: они могут быть цикличными, диэдральными, тетраэдральными, октаэдральными или икосаэдральным. Гипотеза Артина для циклического и диэдрального случая легко получается из работы Гекке. Ленглендс использовал замену базы для доказательства тетраэдрального случая, а Таннел расширил его работу, покрыв октаэдральный случай; Уайлс использовал эти случаи в его доказательстве гипотезы Таниямы-Шимуры. Ричард Тейлор и другие получили некоторый прогресс в этом (неразрешимом) икосаэдральном случае; это сейчас активная область исследований.

Из теоремы Брауэра об индуцированном характере следует, что все L-функции Артина разлагаются в произведение целых степеней L-функций Гекке, и следовательно мероморфны на всей комплексной плоскости.

Ленглендс (1970) указал, что гипотеза Артина следует из достаточно сильных результатов программы Ленглендса, связанных с L-функциями, ассоциированных с автоморфными представлениями для GL(n) для всех n ⩾ 1 {displaystyle ngeqslant 1} . Точнее говоря, гипотезы Ленглендса ассоциируют автоморфное представление группы аделей GL n ⁡ ( A Q ) {displaystyle operatorname {GL} _{n}(A_{mathbb {Q} })} с каждым n {displaystyle n} -мерным неприводимым представлением группы Галуа, которое является каспидальным представлением, если представление Галуа неприводимо, так что L-функция Артина представления Галуа совпадает с автоморфной L-функцией автоморфного представления. Гипотеза Артина тогда сразу следует из известного факта, что L-функции каспидальных автоморфных представлений являются голоморфными. Это было одним из главных мотивов работы Ленглендса.

Гипотеза Дедекинда

Ослабленная гипотеза (иногда называемая гипотезой Дедекинда) утверждает, что если M / K {displaystyle M/K} — расширение числового поля, то частное ζ M ( s ) / ζ K ( s ) {displaystyle zeta _{M}(s)/zeta _{K}(s)} их дзета-функций Дедекинда является целой функцией.

Теорема Араматы-Брауэра утверждает, что гипотеза остается верной в случае, если расширение M / K {displaystyle M/K} является расширением Галуа.

Более общо, пусть N {displaystyle N} — замыкание Галуа M {displaystyle M} над K {displaystyle K} , а G {displaystyle G} — группа Галуа N / K {displaystyle N/K} . Частное ζ M ( s ) / ζ K ( s ) {displaystyle zeta _{M}(s)/zeta _{K}(s)} равно L-функции Артина, ассоциированной с естественным представлением, связанным с действием G {displaystyle G} на комплексных вложениях M {displaystyle M} , сохраняющих K {displaystyle K} на месте. Таким образом гипотеза Артина влечёт гипотезу Дедекинда.

Гипотеза была доказана в случае, когда G {displaystyle G} является разрешимой группой, независимо Учидой и ван дер Ваалем в 1975.