Алгебраическое уравнение Риккати

Алгебраическое уравнение Риккати — нелинейное матричное уравнение, использующееся при решении некоторых задач теории управления, в частности при построении линейно-квадратичного регулятора и фильтра Калмана.

Два классических типа алгебраических уравнений Риккати:

• Непрерывное уравнение:

X D X + X A + A ∗ X − C = 0 , {displaystyle XDX+XA+A^{*}X-C=0,} где X {displaystyle X} — искомая матрица, A , D , C {displaystyle A,D,C} — известные квадратные комплексные матрицы, D {displaystyle D} и C {displaystyle C} — эрмитовы.

• Дискретное уравнение:

X = A ∗ X A + Q − ( C + B ∗ X A ) ∗ ( R + B ∗ X B ) − 1 ( C + B ∗ X A ) , {displaystyle X=A^{*}XA+Q-left(C+B^{*}XA ight)^{*}left(R+B^{*}XB ight)^{-1}left(C+B^{*}XA ight),} где X {displaystyle X} — искомая матрица, A , B , C , Q , R {displaystyle A,B,C,Q,R} — известные комплексные матрицы, B {displaystyle B} и C {displaystyle C} могут быть прямоугольными, Q {displaystyle Q} и R {displaystyle R} — эрмитовы.

Названия обоих типов обусловлены их применением при исследовании соответственно непрерывных и дискретных динамических систем.

Для решения алгебраического уравнения Риккати применяются итерационные методы, например, метод Ньютона, а также различные матричные разложения, особенно спектральное разложение.