Главная
Статьи





01.07.2022


01.07.2022


01.07.2022


01.07.2022


01.07.2022






Ортогональная система координат

23.01.2022

Ортогональными называются криволинейные координаты, в которых метрический тензор имеет диагональный вид.

d s 2 = ∑ k = 1 n ( h k d q k ) 2 {displaystyle ds^{2}=sum _{k=1}^{n}left(h_{k}dq^{k} ight)^{2}} ,

где n {displaystyle n} - размерность пространства. Скалярный фактор

h k ( q )   = d e f   g k k ( q ) = | e k | {displaystyle h_{k}(mathbf {q} ) {stackrel {mathrm {def} }{=}} {sqrt {g_{kk}(mathbf {q} )}}=|mathbf {e} _{k}|}

равен корню квадратному от диагональных компонент метрического тензора, или длине локального базисного вектора e k {displaystyle mathbf {e} _{k}} .

В ортогональных системах координат q = ( q 1 , q 1 , … , q n ) {displaystyle mathbf {q} =(q^{1},q^{1},ldots ,q^{n})} координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси O x {displaystyle Ox} , O y {displaystyle Oy} и O z {displaystyle Oz} .

Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Математические преобразования

Базисные векторы

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

e i ⋅ e j = { 0 , i ≠ j ; | e i | 2 , i = j . {displaystyle mathbf {e} _{i}cdot mathbf {e} _{j}=left{{egin{matrix}0,&i eq j{;}vert mathbf {e} _{i}vert ^{2},&i=j{.}end{matrix}} ight.}

В большинстве случаев используют нормированные базисные векторы, для которых e i ( n ) = e i | e i | {displaystyle mathbf {e} _{i}^{left(n ight)}={frac {mathbf {e} _{i}}{left|mathbf {e} _{i} ight|}}} .

Для нормированных базисных векторов e i ⋅ e j = δ i j {displaystyle mathbf {e} _{i}cdot mathbf {e} _{j}=delta _{ij}} , где δ i j {displaystyle delta _{ij}} — символ Кронекера.

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов в ортогональных системах вычисляется по формуле:

x ⋅ y = ∑ k = 1 n h k 2 x k y k = ∑ k = 1 n x k y k h k 2 = ∑ k = 1 n x k y k = ∑ k = 1 n x k y k {displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {y} =sum _{k=1}^{n}h_{k}^{2}x^{k}y^{k}=sum _{k=1}^{n}{frac {x_{k}y_{k}}{h_{k}^{2}}}=sum _{k=1}^{n}x^{k}y_{k}=sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}} .