Фильтрация (случайные процессы)

Фильтрация в теории случайных процессов — неубывающее семейство σ-алгебр.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство ( Ω , F , P ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} и подмножество числовой прямой T ⊂ R {displaystyle Tsubset mathbb {R} } . Семейство σ-алгебр { F t } t ∈ T {displaystyle {{mathcal {F}}_{t}}_{tin T}} такое, что

F s ⊂ F t ⊂ F , ∀ s ≤ t , s , t ∈ T , {displaystyle {mathcal {F}}_{s}subset {mathcal {F}}_{t}subset {mathcal {F}},quad forall sleq t,;s,tin T,}

называется фильтрацией вероятностного пространства ( Ω , F , P ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} .

Естественная фильтрация случайного процесса

Пусть дан случайный процесс { X t } t ∈ T {displaystyle {X_{t}}_{tin T}} , определённый на некотором вероятностном пространстве. Определим

F t X = σ { X s ∣ s ≤ t , s ∈ T } , t ∈ T . {displaystyle {mathcal {F}}_{t}^{X}=sigma {X_{s}mid sleq t,;sin T},quad tin T.} .

Тогда семейство { F t X } t ∈ T {displaystyle left{{mathcal {F}}_{t}^{X} ight}_{tin T}} является фильтрацией и называется естественной фильтрацией случайного процесса { X t } {displaystyle {X_{t}}} .