Взаимодействие Юкавы

В физике элементарных частиц взаимодействие Юкавы, названное в честь Хидэки Юкавы — это взаимодействие между скалярным полем ϕ {displaystyle phi } и дираковским полем Ψ {displaystyle Psi } :

V ≈ g Ψ ¯ ϕ Ψ {displaystyle Vapprox g{ar {Psi }}phi Psi } (скаляр) или g Ψ ¯ i γ 5 ϕ Ψ {displaystyle g{ar {Psi }}igamma ^{5}phi Psi } (псевдоскаляр).

Взаимодействие Юкавы можно использовать для описания сильных ядерных сил между нуклонами (которые являются фермионами), переносимых пионами (которые являются псевдоскалярными мезонами). Взаимодействие Юкавы также используется в рамках Стандартной модели для описания связи между хиггсовским полем и безмассовыми полями кварков и электронов. Посредством механизма спонтанного нарушения симметрии фермионы обретают массу, пропорциональную среднему ожидаемому значению поля Хиггса.

Действие

Действие для мезонного поля ϕ {displaystyle phi } , взаимодействующего c дираковским фермионным полем ψ {displaystyle psi } :

S [ ϕ , ψ ] = ∫ d d x [ L m e s o n ( ϕ ) + L D i r a c ( ψ ) + L Y u k a w a ( ϕ , ψ ) ] {displaystyle S[phi ,psi ]=int d^{d}x;left[{mathcal {L}}_{mathrm {meson} }(phi )+{mathcal {L}}_{mathrm {Dirac} }(psi )+{mathcal {L}}_{mathrm {Yukawa} }(phi ,psi ) ight]}

где интегрирование выполняется по d измерениям (обычно 4 для четырёхмерного пространства-времени). Лагранжиан мезонного поля:

L m e s o n ( ϕ ) = 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − V ( ϕ ) {displaystyle {mathcal {L}}_{mathrm {meson} }(phi )={frac {1}{2}}partial ^{mu }phi partial _{mu }phi -V(phi )} .

Здесь V ( ϕ ) {displaystyle V(phi )} — член, отвечающий за самодействие. Для свободного массивного мезона он равен V ( ϕ ) = 1 2 μ 2 ϕ 2 {displaystyle V(phi )={frac {1}{2}}mu ^{2}phi ^{2}} где μ {displaystyle mu } масса мезона. Для (перенормируемого) самодействующего поля он равен V ( ϕ ) = 1 2 μ 2 ϕ 2 + λ ϕ 4 {displaystyle V(phi )={frac {1}{2}}mu ^{2}phi ^{2}+lambda phi ^{4}} где λ константа связи. Этот потенциал подробно рассматривается в статье взаимодействие четвёртого порядка.

Свободный лагранжиан Дирака равен

L D i r a c ( ψ ) = ψ ¯ ( i ∂ / − m ) ψ {displaystyle {mathcal {L}}_{mathrm {Dirac} }(psi )={ar {psi }}(ipartial !!!/-m)psi }

где m — положительная, действительная масса фермиона. Лагранжиан взаимодействия Юкавы равен

L Y u k a w a ( ϕ , ψ ) = − g ψ ¯ ϕ ψ {displaystyle {mathcal {L}}_{mathrm {Yukawa} }(phi ,psi )=-g{ar {psi }}phi psi }

где g — (действительная) константа связи для скалярных мезонов и

L Y u k a w a ( ϕ , ψ ) = − g ψ ¯ i γ 5 ϕ ψ {displaystyle {mathcal {L}}_{mathrm {Yukawa} }(phi ,psi )=-g{ar {psi }}igamma ^{5}phi psi }

для псевдоскалярных мезонов. Учитывая вышесказанное, действие можно записать как

S [ ϕ , ψ ] = ∫ d d x [ 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − V ( ϕ ) + ψ ¯ ( i ∂ / − m ) ψ − g ψ ¯ ϕ ψ ] {displaystyle S[phi ,psi ]=int d^{d}xleft[{frac {1}{2}}partial ^{mu }phi partial _{mu }phi -V(phi )+{ar {psi }}(ipartial !!!/-m)psi -g{ar {psi }}phi psi ight]}

Классический потенциал

Если два скалярных мезона взаимодействуют посредством взаимодействия Юкавы, то потенциал между двумя частицами будет равен:

V ( r ) = − g 2 4 π 1 r e − μ r {displaystyle V(r)=-{frac {g^{2}}{4pi }}{frac {1}{r}}e^{-mu r}}

— потенциал Юкавы (такой же, как и кулоновский потенциал, если не учитывать знак и экспоненциальный фактор). Из-за знака взаимодействие Юкавы может быть только притяжением для всех частиц (электромагнитное взаимодействие является отталкиванием для одинаковых частиц). Это объясняется тем фактом, что частица Юкавы имеет нулевой спин, а чётный спин всегда приводит к потенциалу притяжения. Экспонента дает взаимодействию конечную дальность, так что частицы на больших расстояниях не взаимодействуют.

Спонтанное нарушение симметрии

Пусть потенциал V ( ϕ ) {displaystyle V(phi )} имеет минимум не при ϕ = 0 {displaystyle phi =0} , а при каком-то ненулевом значении ϕ 0 {displaystyle phi _{0}} . Это возможно, если написать (например) V ( ϕ ) = μ 2 ϕ 2 + λ ϕ 4 {displaystyle V(phi )=mu ^{2}phi ^{2}+lambda phi ^{4}} и затем присвоить μ мнимое значение. В этом случае можно сказать, что лагранжиан показывает спонтанное нарушение симметрии. Ненулевое значение φ называется средним ожидаемым значением φ. В Стандартной модели это ненулевое значение ответственно за ненулевые фермионные массы, как показано ниже.

Чтобы показать член, содержащий массу, можно выразить действие через поле ϕ ~ = ϕ − ϕ 0 {displaystyle { ilde {phi }}=phi -phi _{0}} , где ϕ 0 {displaystyle phi _{0}} понимается как константа, независимая от положения. Мы видим, что выражение Юкавы имеет член

g ϕ 0 ψ ¯ ψ {displaystyle gphi _{0}{ar {psi }}psi }

и поскольку g и ϕ 0 {displaystyle phi _{0}} — константы, этот член выглядит точно как массовый член для фермиона с массой g ϕ 0 {displaystyle gphi _{0}} . Это механизм, посредством которого спонтанное нарушение симметрии придает массу фермионам. Поле ϕ ~ {displaystyle { ilde {phi }}} известно как Поле Хиггса.

Форма Майорана

Также возможно получить взаимодействие Юкавы между скаляром и полем Майорана. На самом деле, взаимодействие Юкавы между скаляром и спинором Дирака можно рассматривать как взаимодействие Юкавы между скаляром и двумя спинорами Майорана одной массы. Раскрыв в терминах двух хиральных спиноров Майорана, получим

S [ ϕ , χ ] = ∫ d d x [ 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − V ( ϕ ) + χ † i σ ¯ ⋅ ∂ χ + i 2 ( m + g ϕ ) χ T σ 2 χ − i 2 ( m + g ϕ ) ∗ χ † σ 2 χ ∗ ] {displaystyle S[phi ,chi ]=int d^{d}xleft[{frac {1}{2}}partial ^{mu }phi partial _{mu }phi -V(phi )+chi ^{dagger }i{ar {sigma }}cdot partial chi +{frac {i}{2}}(m+gphi )chi ^{T}sigma ^{2}chi -{frac {i}{2}}(m+gphi )^{*}chi ^{dagger }sigma ^{2}chi ^{*} ight]}

где g — комплексная константа связи, а m — комплексное число.

Правила Фейнмана

Статья потенциал Юкавы содержит простой пример правил Фейнмана и вычисление амплитуды рассеяния по диаграмме Фейнмана, соответствующей взаимодействию Юкавы.