Анализ функций многих переменных

Многомерный анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.

Типичные операции

Пределы и непрерывность

Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения, которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы. Функция

f ( x , y ) = x 2 y x 4 + y 2 {displaystyle f(x,y)={frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}}

стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы y = x 2 {displaystyle y=x^{2}} , предел = 0.5. Так как пределы по разным траекториям не совпадают, предела не существует.

Функция f ( x 1 , … , x n ) {displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n})} имеет пределом число A при стремлении переменных x 1 , … , x n {displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}} , соответственно, к a 1 , … , a n {displaystyle a_{1},ldots ,a_{n}} , если для каждого числа ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} найдется такое число δ > 0 {displaystyle delta >0} , что | f ( x 1 , … , x n ) − A ) | < ε {displaystyle |f(x_{1},ldots ,x_{n})-A)|<varepsilon } , то есть | x 1 − a 1 | < δ , … , | x n − a n | < δ {displaystyle |x_{1}-a_{1}|<delta ,ldots ,|x_{n}-a_{n}|<delta } .

Функция u = f ( M ) {displaystyle u=f(M)} называется непрерывной в точке A {displaystyle A} , если предельное значение этой функции в точке A {displaystyle A} существует и равно частному значению f ( A ) {displaystyle f(A)} .

Функция u = f ( M ) {displaystyle u=f(M)} называется непрерывной на множестве M {displaystyle {M}} , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Нахождение частной производной

Понятие частной производной неизбежно возникает при попытке дифференцирования многомерных функции и в геометрическом смысле является производной от её части, на пересекающей в точке определения плоскости, которая в случае рассмотрения декартовой прямоугольной системы координат параллельна плоскости (O, x k {displaystyle x_{k}} ,f), где О — точка пересечения координатных осей; x k {displaystyle x_{k}} — частный аргумент точки дифференцирования; f — ордината точки. Рассматриваемая производная n-мерной функции будет обозначается как ∂ f ( x 1   . . .   x k   . . .   x n ) ∂ x k {displaystyle {frac {partial f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{partial x_{k}}}} , что есть её дифференцирование по одному из аргументов:

∂ f ( x 1   . . .   x k   . . .   x n ) ∂ x k = lim Δ x → 0 f ( x 1   . . .   x k + Δ x k   . . .   x n ) − f ( x 1   . . .   x k   . . .   x n ) Δ x k , {displaystyle {frac {partial f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{partial x_{k}}}=lim _{Delta x o 0}{frac {f(x_{1}~...~x_{k}+Delta x_{k}~...~x_{n})-f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{Delta x_{k}}},}

где x k {displaystyle x_{k}} — определенный аргумент; а символ ∂ {displaystyle partial } является видоизмененной записью d x {displaystyle d_{x}} и отдельно не употребляется.

Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных. В векторном исчислении оператор набла ( ∇ {displaystyle abla } ) используется для определения понятий градиента, дивергенции, и ротора с точки зрения частных производных. Матрица частных производных — матрица Якоби — может использоваться для представления производной функции (отображения) между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом производная может быть представлена как линейное преобразование, которое изменяется в зависимости от точки из области определения функции.

Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.

Кратное интегрирование

Интеграл ∫ ⋯ ∫ ⏟ X f ( x 1 , … , x n ) d x 1 … d x n {displaystyle underbrace {int {cdots }int } _{X}f(x_{1},ldots ,x_{n})dx_{1}ldots dx_{n}} называется кратным интегралом, если n > 1 {displaystyle n>1} . В случае n = 2 {displaystyle n=2} он называется двойным, в случае n = 3 {displaystyle n=3} — тройным интегралом, а в случае произвольного n ∈ N {displaystyle nin N} — n-кратным. Его обозначают также ∫ X f ( x ) d x {displaystyle int limits _{X}f(x)dx} . При такой записи под символом x {displaystyle x} следует понимать точку x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})} пространства E n {displaystyle E^{n}} , под символом d x {displaystyle dx} — произведение d x = d x 1 d x 2 … d x n {displaystyle dx=dx_{1}dx_{2}ldots dx_{n}} , а под знаком ∫ D {displaystyle int limits _{D}} — n-кратный интеграл по n-мерной области D {displaystyle D} .

Кратный интеграл расширяет понятие интеграла на функции многих переменных. Двойные интегралы могут использоваться для вычисления объемов областей в пространстве. Теорема Тонелли — Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть вычислен как повторный интеграл.

Поверхностный интеграл и криволинейный интеграл используются для интегрирования по многообразиям, таким как поверхности и кривые.

Фундаментальная теорема анализа функций многих переменных

В математическом анализе функций одной переменной фундаментальная теорема устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в анализе функций многих переменных воплощена в известных теоремах интегрирования векторного анализа:

• Теорема Ньютона — Лейбница
• Теорема Стокса
• Теорема Остроградского — Гаусса
• Теорема Грина

При более углубленном изучении многомерного математического анализа видно, что эти четыре теоремы — частные случаи более общей теоремы, теоремы Стокса об интегрировании дифференциальных форм.

Применение

Методы многомерного математического анализа используются для изучения многих объектов в физическом мире.

Многомерный математический анализ может быть применен для анализа детерминированных систем, которые имеют многочисленные степени свободы. Функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, часто используются для моделирования этих систем, и многомерный математический анализ обеспечивает средства для того, чтобы охарактеризовать системную динамику.

Многомерный математический анализ используется во многих областях естествознания, социологии и инженерии для моделирования и изучения высоко-размерных систем, которые показывают детерминированное поведение. Недетерминированные, или стохастические (случайные) системы могут быть изучены, используя другой вид математики, такой как стохастическое исчисление.