Сферы Берже

Сферы Берже — однопараметрическое семейство римановых многообразий диффеоморфных трёхмерной сфере, которое часто используется как пример в различных вопросах римановой геометрии. Названы в честь Марселя Берже.

Все сферы Берже могут быть получены сжатием стандартной метрики на трёхмерной сфере вдоль слоёв расслоения Хопфа.

Построение

Рассмотрим S 3 {displaystyle mathbb {S} ^{3}} как сферу в комплексном пространстве C 2 {displaystyle mathbb {C} ^{2}} . На ней действует S 1 ⊂ C {displaystyle mathbb {S} ^{1}subset mathbb {C} } комплексными умножениями. Таким образом на R × S 3 {displaystyle mathbb {R} imes mathbb {S} ^{3}} можно построить изометрическое действие R × S 1 {displaystyle mathbb {R} imes mathbb {S} ^{1}} с помощью комплексных поворотов S 3 {displaystyle mathbb {S} ^{3}} и сдвигов по R {displaystyle mathbb {R} } . В R × S 1 {displaystyle mathbb {R} imes mathbb {S} ^{1}} есть однопараметрическое семейство подгрупп R α {displaystyle mathbb {R} _{alpha }} изоморфных R {displaystyle mathbb {R} } , с элементами типа ( t , e α t ) ∈ R × S 1 {displaystyle (t,e^{alpha t})in mathbb {R} imes mathbb {S} ^{1}} . Фактор R × S 3 {displaystyle mathbb {R} imes mathbb {S} ^{3}} по действию R α {displaystyle mathbb {R} _{alpha }} диффеоморфен S 3 {displaystyle mathbb {S} ^{3}} , но индуцированная риманова метрика g α {displaystyle g_{alpha }} на нём отличается от стандартной. Полученное риманово многообразие ( S 3 , g α ) {displaystyle (mathbb {S} ^{3},g_{alpha })} называется сферой Берже.

Свойства

• Из формулы О’Нэйла, секционная кривизна g α {displaystyle g_{alpha }} положительна.
• При α → ∞ {displaystyle alpha o infty } пространства ( S 3 , g α ) {displaystyle (mathbb {S} ^{3},g_{alpha })} коллапсируют к S 1 / 2 2 {displaystyle mathbb {S} _{1/2}^{2}} , стандартной 2-сфере радиуса 1 / 2 {displaystyle 1/2} .
• При α → ∞ {displaystyle alpha o infty } , тензор кривизны ( S 3 , g α ) {displaystyle (mathbb {S} ^{3},g_{alpha })} сходится к тензору кривизны пространства R × S 1 / 2 2 {displaystyle mathbb {R} imes mathbb {mathbb {S} } _{1/2}^{2}}
• Сферы Берже являются частным случаем левоинвариантных метрик на S 3 = S p i n 4 {displaystyle mathbb {S} ^{3}=Spin_{4}}
• Круговые сферы в комплексной проективной плоскости C P 2 {displaystyle mathbb {C} P^{2}} с метрикой Фубини — Штуди с точностью до коэффициента являются сферами Берже
• На сферах Берже, окружности в расслоении Хопфа образуют двупараметрическое семейство замкнутых геодезических, которые при достаточно больших α {displaystyle alpha } являются стабильными, (то есть нельзя добиться уменьшения их длины небольшими шевелениями).