K-распределение

K-распределение — в теории вероятности и статистике семейство трёхпараметрических непрерывных вероятностных распределений. Возникает при суперпозиции двух гамма-распределений. В каждом случае производится репараметризация гамма-распределения, и параметрами распределения являются:

• среднее значение распределения;
• обычные параметры формы.

Плотность вероятности

Модель заключается в том, что случайная величина X {displaystyle X} имеет гамма-распределение со средним значением σ {displaystyle sigma } и параметром формы L {displaystyle L} , причём величина σ {displaystyle sigma } в свою очередь имеет гамма-распределение со средним значением μ {displaystyle mu } и параметром формы ν {displaystyle u } . В результате величина X {displaystyle X} имеет следующую функцию плотности вероятности для x > 0 {displaystyle x>0} :

f X ( x ; μ , ν , L ) = 2 ξ ( β + 1 ) / 2 x ( β − 1 ) / 2 Γ ( L ) Γ ( ν ) K α ( 2 ξ x ) , {displaystyle f_{X}(x;mu , u ,L)={frac {2,xi ^{(eta +1)/2}x^{(eta -1)/2}}{Gamma (L)Gamma ( u )}}K_{alpha }(2{sqrt {xi x}}),}

где α = ν − L , {displaystyle alpha = u -L,} β = L + ν − 1 , {displaystyle eta =L+ u -1,} ξ = L ν / μ , {displaystyle xi =L u /mu ,} а K {displaystyle K} представляет собой модифицированную функцию Бесселя второго рода. Таким образом, K-распределение является составным распределением вероятности. Оно также является мультипликативным распределением, так как представляет собой распределение произведения двух независимых случайных величин, одно из которых имеет гамма-распределение со средним σ {displaystyle sigma } и параметром формы L {displaystyle L} , вторая — гамма-распределение со средним μ {displaystyle mu } и параметром формы ν {displaystyle u } .

Распределение предложено в 1978 году статье Эрика Джекмана и Питера Пьюси, которые использовали его при моделировании отражения СВЧ-излучения от морской поверхности. Джекман и Тоу в 1987 году получили это распределение из смещённой модели случайного блуждания. Уорд (1981) получил K-распределение как распределение произведения двух случайных величин, z = ay, где а имеет хи-распределение, а y — комплексное гауссово распределение, в результате чего модуль величины z имеет K-распределение.

Моменты

Производящая функция моментов определяется как

M X ( s ) = ( ξ s ) β / 2 exp ⁡ ( ξ 2 s ) W − β / 2 , α / 2 ( ξ s ) , {displaystyle M_{X}(s)=left({frac {xi }{s}} ight)^{eta /2}exp left({frac {xi }{2s}} ight)W_{-eta /2,alpha /2}left({frac {xi }{s}} ight),}

где W − β / 2 , α / 2 ( ⋅ ) {displaystyle W_{-eta /2,alpha /2}(cdot )} — функция Уиттекера.

N-й момент K-распределения определяется как

μ n = ξ − n Γ ( L + n ) Γ ( ν + n ) Γ ( L ) Γ ( ν ) . {displaystyle mu _{n}=xi ^{-n}{frac {Gamma (L+n)Gamma ( u +n)}{Gamma (L)Gamma ( u )}}.}

Поэтому математическое ожидание и дисперсия равны

E ⁡ ( X ) = μ ; {displaystyle operatorname {E} (X)=mu ;} var ⁡ ( X ) = μ 2 ν + L + 1 L ν . {displaystyle operatorname {var} (X)=mu ^{2}{frac { u +L+1}{L u }}.}

Другие свойства

Все свойства распределения симметричны относительно L {displaystyle L} and ν . {displaystyle u .}

Приложения

K-распределение возникает в статистических или вероятностных моделях, используемых при моделировании радиолокаторов с синтезированной апертурой (РСА). Оно является суперпозицией два независимых вероятностных распределений, одно из которых представляет собой эффективную площадь рассеяния, а другая — спекл (дифракционное пятно, полученная в когерентном свете). Также используется в беспроводной связи в модели быстрых замираний и экранирования сигнала.