Овал Декарта

Овал Декарта — плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, представляющая собой геометрическое место точек, для которых сумма расстояний r 1 {displaystyle r_{1}} и r 2 {displaystyle r_{2}} до двух точек F 1 {displaystyle F_{1}} и F 2 {displaystyle F_{2}} , называемых фокусами, помноженных на константы p 1 {displaystyle p_{1}} и p 2 {displaystyle p_{2}} , является постоянной, то есть:

p 1 r 1 + p 2 r 2 = d . {displaystyle p_{1}r_{1}+p_{2}r_{2}=d.}

Уравнение кривой

Эта кривая описывается уравнением:

( x 2 + y 2 − 2 a x ) 2 = b 2 ( x 2 + y 2 ) + c , {displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=b^{2}(x^{2}+y^{2})+c;,}

где a, b и c — константы, связанные с параметрами p1, p2 и d.

При c = 0 {displaystyle c=0} овал Декарта представляет собой улитку Паскаля.

Если p 1 = p 2 , {displaystyle p_{1}=p_{2},} , то овал Декарта представляет собой эллипс, в случае p 1 = − p 2 , {displaystyle p_{1}=-p_{2},} — гиперболу.

Эту кривую первым изучил и описал Рене Декарт в 1637 году. Эти овалы Декарт построил при решении задачи оптики: он искал кривую, которая преломляла бы лучи, выходящие из одной точки, так, чтобы преломленные лучи проходили бы через другую заданную точку.

Примеры овалов Декарта

• a = 1, b = 1, c = 0

• a = 1, b = 1, c = 1

• a = 1, b = 1, c = -1

• a = 1, b = 1, c = 0,05

• a = 1,5, b = 0, c = 0,5